基础数学示例

$\frac{z}{z^{2} - 64} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{z}{z^{2} - 8^{2}} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 8$ 。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$16 z = 2 \cdot z \cdot 8$

解题步骤 1.2.3

重写多项式。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 8 + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 8$ 。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ 乘以 $\frac{z - 8}{z - 8}$ 。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ 乘以 $\frac{z - 8}{z - 8}$ 。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ 乘以 $\frac{z + 8}{z + 8}$ 。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} \cdot \frac{z + 8}{z + 8} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ 乘以 $\frac{z + 8}{z + 8}$ 。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{1}{z + 8}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{z + 8}$ 乘以 $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ 。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - (\frac{1}{z + 8} \cdot \frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}})$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{z + 8}$ 乘以 $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ 。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.7

对 $z - 8$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} (z - 8))} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.8

对 $z - 8$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} {(z - 8)}^{1})} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{1 + 1}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{z (z - 8) + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{z \cdot z + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{2} + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.3

将 $- 8$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{z^{2} - 8 \cdot z + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 8 \cdot 8 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.5

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.6

将 ${(z - 8)}^{2}$ 重写为 $(z - 8) (z - 8)$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - ((z - 8) (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.7

使用 FOIL 方法展开 $(z - 8) (z - 8)$ 。

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解题步骤 4.7.1

运用分配律。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z (z - 8) - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.7.3

运用分配律。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1.1

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.8.1.2

将 $- 8$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 \cdot z - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.8.1.3

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 z - 8 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.8.2

从 $- 8 z$ 中减去 $8 z$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 16 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.9

运用分配律。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} - (- 16 z) - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 4.10.2

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 5

合并 $z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1

将 $- 8 z$ 和 $8 z$ 相加。

$\frac{z^{2} + 0 + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 5.2

将 $z^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{z^{2} + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 5.3

从 $z^{2}$ 中减去 $z^{2}$ 。

$\frac{0 + 64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 和 $64$ 相加。

$\frac{64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 5.5

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$\frac{16 z + 0}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

解题步骤 5.6

将 $16 z$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16 z}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

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